Решение

1. Обозначения

\(S=1200\) тыс. рублей — сумма кредита;
\(12\) — число месяцев;
\(r=3\) — процент ежемесячного увеличения долга;
\(x=\dfrac{S}{12}\) — величина, на которую ежемесячно уменьшается долг;
\(y\) — общая сумма выплат;
\(x_{n}\) — выплата в \(n\)-м месяце.

2. Как убывает долг

Долг на конец каждого периода уменьшается на одну и ту же величину \(x\), поэтому после \(n\) периодов остаётся\[S_n=\frac{(12-n)S}{12},\qquad S_0=S,\qquad S_{12}=0.\]Значит, ежемесячно долг уменьшается на \(x=\dfrac{1200}{12}=100\).

3. Таблица долга

Месяц \(n\)	Долг на начало периода	Долг после начисления процентов	Выплата
\(1\)	\(\dfrac{12S}{12}\)	\(1{,}03\cdot\dfrac{12S}{12}\)	\(\dfrac{S}{12}+0{,}03\cdot\dfrac{12S}{12}\)
\(2\)	\(\dfrac{11S}{12}\)	\(1{,}03\cdot\dfrac{11S}{12}\)	\(\dfrac{S}{12}+0{,}03\cdot\dfrac{11S}{12}\)
\(3\)	\(\dfrac{10S}{12}\)	\(1{,}03\cdot\dfrac{10S}{12}\)	\(\dfrac{S}{12}+0{,}03\cdot\dfrac{10S}{12}\)
\(n\)	\(\dfrac{(12-n+1)S}{12}\)	\(1{,}03\cdot\dfrac{(12-n+1)S}{12}\)	\(\dfrac{S}{12}+0{,}03\cdot\dfrac{(12-n+1)S}{12}\)
\(13\)	\(0\)	\(0\)	\(-\)

4. Выплата за период

Выплата равна разности долга после начисления процентов и долга на конец периода:\[x_n=1{,}03\cdot\frac{(12-n+1)S}{12}-\frac{(12-n)S}{12}=\frac{S}{12}+0{,}03\cdot\frac{(12-n+1)S}{12}.\]Первое слагаемое — это \(x\), одинаковое для всех периодов; второе — начисленные за период проценты.

5. Складываем все выплаты

Сложим выплаты за все периоды. Слагаемых вида \(x\) ровно \(12\), а проценты дают сумму:\[y=x\cdot12+0{,}03\,S\left(\frac{12}{12}+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\ldots+\frac{1}{12}\right).\]Обозначим сумму в скобках через \(P\). У всех дробей одинаковый знаменатель \(12\), поэтому\[P=\frac{12+11+\ldots+1}{12}.\]В числителе стоит сумма подряд идущих натуральных чисел от \(1\) до \(12\). Это арифметическая прогрессия, её сумма равна произведению полусуммы крайних членов на число членов:\[12+11+\ldots+1=\frac{12+1}{2}\cdot12=78.\]Значит, \(P=\dfrac{78}{12}=6{,}5\). (сумма арифметической прогрессии: полусумма крайних членов на число членов)

6. Подставляем числа

\[y=x\cdot12+0{,}03\,S\,P=100\cdot12+0{,}03\cdot1200\cdot6{,}5=1200+234=1434.\]

7. Проверка

Выплаты убывают на одну и ту же величину: первая равна \(136\), последняя — \(103\). Их сумма равна \(\dfrac{136+103}{2}\cdot12=1434\) — совпадает.

8. Ответ

Ответ: \(1434\) тыс. рублей